■ Hello School 算数 約数・倍数 ■
インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。 
●約数・倍数の知識
約数
 約数…ある整数を割り切れることができる整数。
  18の約数…1、2、3、6、9、18

 素数…約数が1とその数しかない整数
  2、3、5、7、11、13、17、…
公約数と最大公約数
 公約数…2つ以上の整数に共通な約数。
  12の約数…123、4、6、12
  18の約数…1236、9、18
  12と18の公約数は1、2、3、6

 最大公約数…公約数の中で最大な整数。
  12と18の最大公約数は6。(右の求め方)

 ※公約数は最大公約数の約数になる。
最大公約数の求め方
倍数
 倍数…ある整数を整数倍した整数。
  3の倍数…3、6、9、12、…
公倍数と最小公倍数
 公倍数…2つ以上の整数に共通な倍数。
  3の倍数…3、6、9、12、…
  4の倍数…4、8、12、16、…
  3と4の公倍数は12、24、36、…

 最小公倍数…公倍数の中で最小の整数。
  12と18の最小公倍数は36。(右の求め方)
  12と15と18の最小公倍数は120。(右の求め方)

 ※公倍数は最小公倍数の倍数になる。
最小公倍数の求め方


 
例題1 次の□にあてはまる数を答えなさい。
(1)72の約数は全部で□個あります。
(2)100以上の素数で3番目に小さい数は□です。
(3)234、390、1040の最大公約数は□です。
(4)12、40、64の最小公倍数は□です。
(5)2けたの整数で、4の倍数で144の約数でもあるのは□個あります。
解説
(1) 72の約数は1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72の12個。
(2) 101、103、107となるので、107。
(3)
右の解法により13×2=26。
(4)
右の解法により2×2×2×3×5×8=960。
(5) 144の約数は1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144で
そのうち、2けたで4の倍数は12、16、24、36、48、72の6個。
解答 (1)12個 (2)107 (3)26 (4)960 (5)6個
 
例題2 41を割るとあまりが5になる数をすべて答えなさい。
解説
41を割るとあまりが5になる数は41から5を引いた36であれば割り切れる。
36を割り切れる数は1、2、3、4、6、9、12、18、36。このうちあまりが5に
なるのは割る数が5よりも大きくなければならないので、6、9、12、18、36。
解答 6、9、12、18、36
 
例題3 1から100までの整数で3で割り切れるが、4で割り切れない整数は全部で何個あり
ますか。
解説
1から100までの整数で3で割り切れる数は100÷3=33あまり1で33個。
3でも4でも割り切れる数は12の倍数なので、100÷12=8あまり4の8個。
3で割り切れるが、4で割り切れない整数は全部で33-8=25個。
解答 25個
 
例題4 次の各問いに答えなさい。
(1)6、7、8のいずれで割っても3あまる3けたの整数で一番小さい整数はいくつで
 すか。
(2)9で割れば6あまり、6で割れば3あまる整数のうち、100に一番近い整数はいく
 つですか。
(3)5で割れば2あまり、9でわれば1あまる整数で一番小さい整数はいくつですか。
解説
(1) 6、7、8のいずれで割っても割り切れる整数は6、7、8の公倍数。
最小公倍数は168で、この数に3をたした171が答えとなる。
(2) 9で割れば6あまり、6で割れば3あまる整数は3をたせば割りきれる整数
なので、6と9の公倍数に3を引いた整数である。
6と9の最小公倍数は18。18で100に近い整数は108。求める整数は
108-3=105。
(3) あまりの数に共通点がないので、書き出して答える。
5で割れば2あまる整数…2、7、12、17、22、27、32、37、42、47、…
9でわれば1あまる整数…1、10、19、28、37、46、55、64、…
37が答えとなる。
解答 (1)171 (2)105 (3)37
 
例題5 53、87、104の3つの整数を□で割ると、あまりが同じになります。□はいくつです
か。
解説
53、87、104の3つの整数の差は
それぞれ小さい順に17、34、51。
これらはすべて□で割り切れる
ので、17、34、51の公約数は
1と17。1ではあまりがなくなるの
で、答えは17。
解答 17
 
例題6 次の各問いに答えなさい。
(1)60とある整数Aの最大公約数は15で、最小公倍数は300です。整数Aはいくつ
 ですか。
(2)2けたの整数A、Bがあり、2つの最大公約数は12、最小公倍数が480です。
 整数A、Bはそれぞれいくつですか。ただしAはBより小さい整数とします。
解説
(1) 右の計算で、15×4×□=300となり、□=5がわかる。
よってAは15×5=75。
(2) 右の計算で、12×○×□=480で、○×□=40となる。
○と□の組み合わせは(1と40)、(2と20)、(4と10)、
(5と8)の4つがあり、このうち(1と40)、(2と20)、(4と10)
の場合はBが3けたになり、問題の条件にあうのは(5と8)。
Aは12×5=60、Bは12×8=96。
解答 (1) 75  (2)A…60 B…48
 

例題7
2つの分数
18
25
27
40
にある分数をかけたところ、2つとも整数になりました。
このような分数で一番小さい分数はいくつですか。
解説
かける分数で分母に18と27の最大公約
数、分子に25と40の最小公倍数であれ
ば2つの分数は整数になる。
18と27の最大公約数は9、25と40の最小
公倍数は200なので、もとめる分数は
200
9
=22
2
9
解答
22
2
9
 
例題8 右の図のような、たて18cm、よこ42cm、
高さ24cmの直方体の箱の中に立方体を
ぎっしりあますことなくつめていきます。
立方体をなるべく少なくするとき、立方体
は全部で何個になりますか。
解説
18、24、42の最大公約数は6。立方体の一辺は6cmとなる。
たてに18÷6=3個、よこに42÷6=7個、高さに24÷6=4個入るので、
全部で3×7×4=84個。
解答 84個
 
例題9 右の図のようなA、Bの2つの信号機があり
ます。信号機Aは3分間青で2分間赤になり、
信号機Bは2分間青で1分間赤になります。
朝の5時に2つの信号機をつけました。朝の
6時40分までに2つの信号機が同時に青に
なっていたのは全部で何分間ですか。
解説
信号機Aは5分おき、
信号機Bは3分おきに
繰り返すので、2つの
信号機は15分おきに
同じことを繰り返す。
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
A
B
右上の表で15分までに同時に青になるのは6分間。
5時から6時40分までは100分間あるので、100÷15=6あまり10分。
同時に青になる6分間が6回あり、残りの10分間に同時に青になるのは4分。
36+4=40分間。
解答 40分間
練習問題
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