■　Hello School　高校数学　数�T（ハロ�T）　２次不等式(2)　解答■

インターネットで数学の問題を考えようね♪

間違えた問題はもう一度解き直しておこうね♪

１． (1)　 ３ｘ2−５ｘ−２＞０から （３ｘ＋１）（ｘ−２）＞０ ゆえに ｘ＜− １ ３ 　２＜ｘ　−�@ １５ｘ2−１４ｘ−８≦０から （５ｘ＋２）（３ｘ−４）≦０ ゆえに − ２ ５ ≦ｘ≦ ４ ３ 　−�A �@、�Aの共通範囲をとって、 − ２ ５ ≦ｘ＜− １ ３ 　 (2) ｘ2−ｘ−６≦０から （ｘ−３）（ｘ＋２）≦０ ゆえに −２≦ｘ≦３　−�@ −２ｘ2＋７ｘ＋４≧０から ２ｘ2−７ｘ−４≦０ （２ｘ＋１）（ｘ−４）≦０ ゆえに − １ ２ ≦ｘ≦４　−�A �@、�Aの共通範囲をとって − １ ２ ≦ｘ≦３ 　 (3)　 ６ｘ＋１＞ｘ2から ｘ2−６ｘ−１＜０ ｘ2−６ｘ−１＝０を解くと、 ｘ＝ ゆえに ＜ｘ＜　−�@ ｘ2＞２ｘ＋３から ｘ−２ｘ−３＞０ （ｘ＋１）（ｘ−３）＞０ ゆえに ｘ＜−１　３＜ｘ　−�A �@、�Aの共通範囲をとって、 ｘ＜−１　 ３＜ｘ＜ 　 ２． ２次方程式ａｘ2−４ｘ＋ １ ４ ａ＝０に対して、 Ｄ1＝（−４）2−４ａ・ １ ４ ａ 　　＝１６−ａ2 　　＝−（ａ＋４）（ａ−４）　−�@ 　 ２次方程式ｘ2−ａｘ＋ａ2−６ａ＝０に対して、 Ｄ2＝（−ａ）2−４（ａ2−６ａ） 　　＝−３ａ2＋２４ａ 　　＝−３ａ（ａ＋８）　−�A (1)　 �@、�Aがいずれも実数の解をもつならば、 Ｄ1≧０　Ｄ2≧０から −４≦ａ＜０　０＜ａ≦４　かつ　０＜ａ≦８ ゆえに ０＜ａ≦４ 　 したがって、�@、�Aの少なくとも一方が実数の解をもたない場合のａの値の範囲は ａ＜０　４＜ａ (2) (1)より、 −４≦ａ＜０　４＜ａ≦８ ３． ＤＥ＝ｘとすると、 ０＜ｘ＜４　−�@ ＤＢ＝ｙとすると、ＡＤ＝８−ｙ よって、（８−ｙ）：８＝ｘ：４から ４（８−ｙ）＝８ｘ ゆえにｙ＝８−４ｘ したがって、長方形ＤＢＥＦの面積は ｘ（８−４ｘ）＝−４ｘ2＋８ｘ であるから、条件より、 ２≦−４ｘ2＋８ｘ＜３ 　 ２≦−４ｘ2＋８ｘ　すなわち　２ｘ2−４ｘ＋１≦０を解くと、 ２ｘ2−４ｘ＋１＝０の解が であるから、 ≦ｘ≦ 　−�A 　 また、−４ｘ2＋８ｘ＜３　すなわち　４ｘ2−８ｘ＋３＞０を解くと、 ４ｘ2−８ｘ＋３＝０の解が １ ２ ， ３ ２ であるから、 ｘ＜ １ ２ ， ３ ２ ＜ｘ　−�B �@、�A、�Bの共通範囲を求めると、 ≦ｘ＜ １ ２ ， ３ ２ ＜ｘ≦ よってＤＥの長さは 以上 １ ２ 未満，　 ３ ２ より大きく 以下 ４． ｆ（ｘ）＝−ｘ2＋（ｋ−８）ｘ−ｋ−７ Ｄ＝（ｋ−８）2−４（−１）・（−ｋ−７） 　＝ｋ2−２０ｋ＋３６ 　＝（ｋ−２）（ｋ−１８） (1)　 上に凸の放物線ｙ＝ｆ（ｘ）が ｘ＞０とｘ＜０の範囲で それぞれｘ軸と交わる条件なので、 ｆ（０）＝−ｋ−７＞０ ゆえに ｋ＜−７ (2) 求める条件は次の（i）〜（iii）を同時に 満たすｋの値の範囲である。 （i）　ｘ軸と共有点をもつことからＤ≧０ よって、Ｄ＝（ｋ−２）（ｋ−１８）≧０から ｋ≦２　１８≦ｋ　−�@ （ii）　軸ｘ＝ ｋ−８ ２ がｘ軸の負の 部分にあるので、 ｋ−８ ２ ＜０　ゆえにｋ＜８　−�A （iii）　ｆ（０）＜０であるから、 −ｋ−７＜０　ゆえに　ｋ＞−７　−�B 求めるｋの値の範囲は�@〜�Bの 共通範囲で −７＜ｋ≦２ 　 (3) 求める条件は次の（i）〜（iii）を同時に 満たすｋの値の範囲である。 （i）　ｘ軸と異なる２つの共有点をもつ ことからＤ＞０ よって、 Ｄ＝（ｋ−２）（ｋ−１８）＞０から ｋ＜２　１８＜ｋ　−�@ （ii）　軸ｘ＝ ｋ−８ ２ がｘ軸のｘ＞１ の部分にあるので、 ｋ−８ ２ ＞１　ゆえにｋ＞１０　−�A （iii）　ｆ（１）＝−１＋ｋ−８−ｋ−７ ＝−１６ であるから、常に条件ｆ（１）＜０ を満たす。 求めるｋの値の範囲は�@、�Aの 共通範囲で ｋ＞１８ 　 ５． (1)　 ｘ2−４ｘ＜ａ（ｘ−４） 　ｘ2−４ｘ−ａ（ｘ−４）＜０ 　（ｘ−４）ｘ−ａ（ｘ−４）＜０ 　（ｘ−ａ）（ｘ−４）＜０ ａ＜４のとき、解はａ＜ｘ＜４ ａ＝４のとき、（ｘ−４）2＜０となり、解はない。 ４＞ａのとき、解は４＜ｘ＜ａ 　　 (2) ａｘ2＞３ｘ 　ｘ（ａｘ−３）＞０ ａ＜０のとき、両辺をａで割って、ｘ（ｘ− ３ ａ ）＜０ ３ ａ ＜０　よって解は ３ ａ ＜ｘ＜０ ａ＝０のとき、０＞ｘ　よって解はｘ＜０ ０＜ａのとき、両辺をａで割って、ｘ（ｘ− ３ ａ ）＞０ よって解は、ｘ＜０， ３ ａ ＜ｘ (3) ｘ2−５ａｘ＋４ａ2＋７ａ−２＞０ 　ｘ2−５ａｘ＋（ａ＋２）（４ａ−１）＞０ 　｛ｘ−（ａ＋２）｝｛ａ−（４ａ−１）｝＞０ ａ＋２＜４ａ−１のとき（ａ＞１のとき） ｘ＜ａ＋２　４ａ−１＜ｘ ａ＋２＝４ａ−１のとき（ａ＝１のとき） （ｘ−３）＞０　よって　ｘ≠３ すなわち　ｘ＜３　３＜ｘ ａ＋２＞４ａ−１のとき（ａ＜１のとき） ｘ＜４ａ−１　ａ＋２＜ｘ ６． ｘ2＋２ｘ−９＝Ａとおくと、 Ａ2−５Ａ−６≦０ （Ａ−６）（Ａ＋１）≦０ ゆえに、 −１≦Ａ≦６ したがって、 −１≦ｘ2＋２ｘ−９　かつ　ｘ2＋２ｘ−９≦６ −１≦ｘ2＋２ｘ−９のとき、 ｘ2＋２ｘ−８≧０から　（ｘ＋４）（ｘ−２）≧０ ゆえに、ｘ≦−４　２≦ｘ　−�@ ｘ2＋２ｘ−９≦６のとき、 ｘ2＋２ｘ−１５≦０から　（ｘ＋５）（ｘ−３）≦０ ゆえに、−５≦ｘ≦３　−�A �@、�Aの共通範囲で、ｘが整数となるものを 求めると、 −５，−４，２，３

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