| ■ Hello School 算数
場合の数 練習問題 解答と解説 ■ |
| インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。 |
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| １． |
右の図のような
A、B、C、Dの
4つの町を結ぶ
道路があります。
A町からD町まで
行く道すじは全部
で何通りあります
か。 |
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| 解説： |
A→B→Dの行き方は3×3＝9通り。
A→C→Dの行き方は2×4＝8通り。
全部で17通り。 | |
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解答：17通り | |
| ２． |
A、B、C、D、E、Fの6人でリレーをします。走る順序は全部で何通りありますか。
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解答：720通り | |
| ３． |
4人が映画館の指定席A、B、C、Dを1枚ずつ買いました。4人の座り方は全部で何通りありますか。 |
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解答：24通り | |
| ４． |
赤、白、青、黄、緑の5色の中から3色選ぶ選び方は全部で何通りありますか。 |
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解答：10通り | |
| ５． |
大小2つのサイコロを投げて、出た目の数の和が8よりも大きい数は何通りありますか。 |
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| 解説： |
右の表のように10通り。 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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○ |
| 4 |
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○ |
○ |
| 5 |
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○ |
○ |
○ |
| 6 |
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○ |
○ |
○ |
○ | | |
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解答：10通り | |
| ６． |
A、B、Cの男子3人とD、E、Fの女子3人が、男子女子の順に並んでいます。並び方は全部で
何通りありますか。 |
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| 解説： |
A、B、Cの男子3人の走る順序は3×2×1＝6通り。
同じように、D、E、Fの女子3人の走る順序は3×2×1＝6通り。
全部で6×6＝36通り。 | |
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解答：36通り | |
| ７． |
1枚ずつのカードに「h」、「e」、「l」、「l」、「o」と書かれた5枚のカードを並べていきます。
(1)両はしが「l」になる並び方は全部で何通りありますか。
(2)「l」がとなりあう並び方は全部で何通りありますか。
(3)左はしが「e」になる並び方は全部で何通りありますか。 |
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| 解説： |
(1) |
「l」を両はしにおくと残りは3枚になるので、3×2×1＝6通り。 |
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(2) |
2枚の「l」を1枚と考えると、4×3×2×1＝24通り。 |
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(3) |
左はしに「e」をおくと残りは3枚。「h」と「o」の決め方を考えると
「l」は自動的に決まるので、4×3＝12通り。 | |
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解答：(1)6通り (2)24通り (3)12通り | |
| ８． |
5cm、7cm、9cm、12cm、13cmの5本の棒のうち3本を使って三角形を作ると、何種類の三角形が
できますか。 |
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| 解説： |
最長辺が他の2辺の和よりも短いことに注意しながら組み合わせを考える。
（5cm、7cm、9cm）（5cm、9cm、12cm）（5cm、9cm、13cm）（5cm、12cm、13cm）
（7cm、9cm、12cm）（7cm、9cm、13cm）（9cm、12cm、13cm）の7種類。 | |
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解答：7種類 | |
| ９． |
右のような方眼紙に、等間隔にAからNまで14個の点が
あり、この中から3点を結んで三角形をつくります。
(1)三角形はいくつできますか。
(2)二等辺三角形ではないものはいくつできますか。
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| 解説： |
(1) |
A〜Gの中から1点、H〜Nの中から2点選ぶ場合、
| 7× |
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＝147通り。A〜Gの中から2点、H〜Nの中から1点選ぶ場合も | 同じになるので、全部で294通り。 |
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(2) |
A〜Gの中から1点、H〜Nの中から2点選ぶ場合、二等辺三角形は
（HBJ）（ICK）（JDL）（KEM）（LFN）（HCL）（IDM）（JEN）（HDN）の9通り。
A〜Gの中から2点、H〜Nの中から1点選ぶ場合、二等辺三角形は
同様に9通り。
二等辺三角形の場合をあわせると全部で18通り。
294-18＝276個 | |
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解答：(1)294個 (2)276個 | |
| 10． |
右の図のように、円周上に8個の点があり、
このうち3点を結んで三角形を作ります。
三角形は全部で何個できますか。 |
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| 解説： |
8個の中から3個を選ぶ選び方と同じになるので、 |
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解答：56個 | |
| 11． |
100円玉が4枚、50円玉が3枚、10円玉が2枚あります。このうち3枚を使って払える金額は全部
で何通りありますか。 |
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| 解説： |
3枚ともちがう硬貨の場合160円で1通り。
3枚とも同じ硬貨の場合、300円、150円の2通り。
2枚が同じ硬貨の場合、（100円、100円、50円）（100円、100円、10円）
（50円、50円、100円）（50円、50円、10円）（10円、10円、100円）
（10円、10円、50円）の6通り。
全部で9通り。 | |
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解答：9通り | |
| 12． |
テニス部5人の中から部長と副部長を決める決め方は全部で何通りありますか。 |
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| 解説： |
5人の中から部長を決める決め方は5通りあり、残った4人の中から副部長を
決める決め方は4通りなので、5×4＝20通り。 | |
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解答：20通り | |
| 13． |
下の図は正方形のマス目に斜めの線を入れたものです。平行四辺形は全部で何個ありますか。 |
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| 解説： |
(1) |
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 …3個  …2個
 …2個  …1個
 …1個
全部で9個 | |
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解答：9個 | |
| 14． |
「0」、「1」、「2」、「3」、「4」の5枚のカードが1枚ずつあり、4枚を選んで4けたの整数をつくります。
(1)整数は全部で何個できますか。
(2)奇数は全部で何個できますか。
(3)3の倍数は全部で何個できますか。
(4)4の倍数は全部で何個できますか。 |
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| 解説： |
(1) |
4×4×3×2＝96通り。 |
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(2) |
一の位が「1」と「3」なので、2×4×3×2＝48通り。 |
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(3) |
各位の和が3の倍数になればよいので、組み合わせは
（1230）（2340）であり、それぞれが6通りずつあるので、全部で12通り。 |
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(4) |
下2けたが4の倍数になればよいので、組み合わせは
「04」「12」「24」「32」「40」で、それぞれが6通りずつあるので、全部で30通り。 | |
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解答：(1)96個 (2)48個 (3)12個 (4)30個 | |
| 15． |
「2」、「2」、「2」、「3」の4枚のカードをカードを並べて4けたの整数を作ると整数は全部で
何個できますか。 |
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| 解説： |
（2223）（2232）（2322）（3222）の4通り。 | |
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解答：4個 | |
| 16． |
「2」、「2」、「2」、「3」、「3」の5枚のカードをカードを並べて4けたの整数を作ると整数
は全部で何個できますか。 |
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| 解説： |
（2223）（2232）（2322）（3222）の4通りと、
（2233）（2332）（3322）（3223）（3232）（2323）の6通りで、全部で10通り。 | |
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解答：10個 | |
| 17． |
「2」、「2」、「2」、「3」、「3」、「4」の6枚のカードをカードを並べて4けたの整数を作る
と整数は全部で何個できますか。 |
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| 解説： |
（2223）（2232）（2322）（3222）の4通りと、
（2233）（2332）（3322）（3223）（3232）（2323）の6通り、
（2224）（2242）（2422）（4222）の4通り、
（2、2、3、4）→12通り、
（2、3、3、4）→12通りで、全部で38通り。 | |
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解答：38個 | |
| 18． |
右のような表と裏に数字が書かれたカードが
3枚あります。このカードを並べたり、裏かえ
したりしてできる5けたの整数は全部で何個
ありますか。 |
   |
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| 解説： |
3枚のカードの組み合わせは1×2×2＝4通り。
それぞれの組み合わせに3×2×1＝6通りずつあるので、5けたの整数は全部で
4×6＝24通り。 | |
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解答：24個 | |
| 19． |
1つの長いすにA、B、C、Dの4人が座るとき、BとDがとなりあわない座り方は全部で何通り
ありますか。 |
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| 解説： |
座り方は全部で4×3×2×1＝24通り。
BとDがとなり合うならび方は（BとD）を1つにして考えて、3×2×1＝6通りで、
（DとB）というならび方もあるので、12通り。
BとDがとなりあわない座り方は24-12＝12通り。 | |
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解答：12通り | |
| 20． |
ある地区で64のサッカーチームの大会が行われます。1次予選は4チームに分かれてリーグ戦
（総当たり戦）を行い、各リーグの1位のチームが最終予選としてトーナメント戦（勝ち抜き戦）
を行います。試合は全部で何試合ありますか。 |
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| 解説： |
1次予選は4チームの中から2チーム選ぶ選び方と同じになるので、1ブロックにつき
|
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＝6試合。これが16ブロックあるので、1次予選は全部で6×16＝96試合。 | 最終予選は1つの試合で1チームが負けることになるので、試合は15試合。
全部で96＋15＝111試合。 | |
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解答：111試合 | |
| 21． |
10円玉、50円玉、100円玉、500円玉がたくさんあります。これらの硬貨を使って600円にするには
全部で何通りありますか。（使わない硬貨があってもよい） |
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| 解説： |
右の図の
ように53
通り。 |
| 500円玉 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 100円玉 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
5 |
5 |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
| 50円玉 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
| 10円玉 |
0 |
0 |
5 |
10 |
0 |
0 |
5 |
10 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 | |
|
| 500円玉 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 100円玉 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 50円玉 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
| 10円玉 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 | |
|
| 500円玉 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 100円玉 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 50円玉 |
1 |
0 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
| 10円玉 |
45 |
50 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 | | |
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解答：53通り | |
| 22． |
1円玉4枚、5円玉3枚、10円玉2枚を使って支払うことができる金額は全部で何通りありますか。
（使わない硬貨があってもよい） |
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| 解説： |
5円玉と10円玉でできる金額は、5円、10円、15円、20円、25円、30円、35円の7通り。
これに1円玉が0枚、1枚、2枚、3枚、4枚の場合があるので、7×5＝35通り。
これに1円玉だけで1円、2円、3円、4円の場合があるので、35＋4＝39通り。 | |
|
解答：39通り | |
| 23． |
右の図のような道路があり、目的地まで遠回りを
しないで行きます。
(1)アからイまで行く道すじは全部で何通りありま
すか。
(2)ウを通ってイまで行く道すじは全部で何通り
ありますか。
(3)ウを通らないでイまで行く道すじは全部で
何通りありますか。 |
 |
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| 解説： |
(1) |
右の図のように35通り。 |
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|
(2) |
ウまでは4通り、ウからイまで3通りなので、
4×3＝12通り。 |
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|
(3) |
全部の35通りから(2)の12通りを引けばよい。
23通り。 | |
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解答：(1)35通り (2)12通り (3)23通り | |
| 24． |
右の図でAから立方体の辺上を遠回りせずに
Bまで行く道すじは全部で何通りありますか。 |
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| 解説： |
アからイまでの進み方は右の図のような和
になる。
これにしたがうと進み方は30通り。 |
 |
|
 | |
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解答：30通り | |
| 25． |
右の図のア、イ、ウを赤、青、緑の3色で色分け
する方法は全部で何通りありますか。
（使わない色があってもよい） |
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| 解説： |
アの部分は赤、青、緑の3通り。
イの部分はアでぬった以外の2色。
ウの部分はイでぬった以外の2色。
全部で3×2×2＝12通り。 | |
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解答：12通り | |
| 26． |
床に右の図のようなタイルをおき、アからオを
赤、青、緑の3色で同じ色を使ってもよいが
となりは違う色にして色分けします。色分け
する方法は全部で何通りありますか。 |
 |
|
| 解説： |
アとエ、オはイかウと同じ色になる。
ア、イ、ウの色の分け方は3×2×1＝6通り。
エは1通り、オは2通りになるので、全部で6×1×2＝12通り。 | |
|
解答：12通り | |
| 27． |
ある数を1と2の和で表していきます。たとえば3は1＋1＋1、1＋2、2＋1の3通りです。
7は全部で何通りで表せますか。 |
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| 解説： |
2を使わない場合→1+1+1+1+1+1+1の1通り。
2を1回使う場合→（2、1、1、1、1、1）→6通り。
2を2回使う場合→（2、2、1、1、1）→10通り。
2を3回使う場合→（2、2、2、1）→4通り。
全部で21通り。 | |
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解答：21通り | |
| 28． |
赤、青、緑、黄、白の5色のえんぴつから2本を選ぶとき、赤が必ず入る確からしさを求めなさい。 |
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| 解説： |
5色の中から2色選ぶ選び方は
|
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＝10通り。赤が入るのは（赤と青）（赤と緑）（赤と黄）（赤と白）の4通りなので、 |
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| 29． |
葵先生、はろ美さん、すく男君の3人でジャンケンを1回します。
(1)1人だけ勝つ場合は何通りありますか。
(2)勝ち負けが決まらない場合は何通りありますか。 |
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| 解説： |
(1) |
葵先生だけが勝つ場合、出し方はグー、チョキ、パーのの3通り。他の2人も同じなの
で、全部で3×3＝9通り。
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(2) |
3人とも同じ出し方はグー、チョキ、パーのの3通り。
3人ともちがう出し方は3×2×1＝6通り。
全部で9通り。 | |
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解答：(1)9通り (2)9通り | |
| 30． |
2g、6g、12gの分銅1個ずつを上皿てんびんの片方、または両方にのせてはかることのできる重さ
は全部で何通りありますか。 |
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| 解説： |
分銅1個の場合、2g、6g、12gずつの3通り。
分銅2個の場合
| 2+6＝8g |
2+12＝14g |
6+12＝18g |
| 6-2＝4g |
12-2＝10g |
12-6＝6g |
分銅3個の場合
| 12+6+2＝20g |
12+6-2＝14g |
12-（6+2）＝4g |
（12-2）+6＝4g |
全部で9通り。 | |
|
解答：9通り | |
| 31． |
葵先生、はろ美さん、すく男君の3人に6枚のカードを配ります。
(1)必ず1人にカードを配ると、配り方は全部で何通りありますか。
(2)1枚も配られない人がいてもよいとすると、配り方は全部で何通りありますか。 |
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| 解説： |
(1) |
必ず1人にカードを配ると残りは3枚となり、
（3、0、0）→3通り
（2、1、0）→6通り
（1、1、1）→1通り
となり、全部で10通り。
|
|
(2) |
1枚も配られない人がいる場合は
（6、0、0）→3通り
（5、1、0）→6通り
（4、2、0）→6通り
（3、3、0）→3通り
の合わせて18通り。これに(1)が加わるので18＋10＝28通り。 | |
|
解答：(1)10通り (2)28通り | |
| 32． |
右の図のような正六角形の頂点をAからサイコロを振って
時計回りに出た目の数だけ進みます。
次にサイコロを振ると反時計回りに出た目の数だけ戻り、
またサイコロを振ると時計回りに
出た目の数だけ進み、これを何度も繰り返します。
(1)サイコロを2回振って、Aにくる目の出方は何通りありますか。
(2)サイコロを3回振って、Aにくる目の出方は何通りありますか。
(3)サイコロを5回振って、2回目も5回目もAにくる目の出方は
何通りありますか。 |
 |
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| 解説： |
(1) |
サイコロを2回振ってAにの位置に来るのは（1、1）（2、2）（3、3）（4、4）（5、5）（6、6）
の6通り。
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(2) |
1回目の数よりも2回目の数の方が大きい場合
1回目と3回目の数の和が2〜6になればよいので、
右の表の○ように15通りになる。
1回目の数よりも2回目の数の方が小さい場合
1回目と3回目の数の和が7〜12になればよいので、
右の表の○ように21通りになる。
したがって、全部で36通り。
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| |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
| 2 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
| 3 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
| 4 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
| 5 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
| 6 |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
○ | |
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(3) |
2回目も5回目もAにくる目の出方は(1)が起きて(2)が起きることなので、
6×36＝216通り。 | |
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解答：(1)6通り (2)36通り (3)216通り | |
| 場合の数の解説ページ 練習問題 |
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| 商用目的での利用を固く禁じます。 |
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