■ Hello School 算数 容積　練習問題　解答と解説　■

インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。

※特別な指示がない限り、割りきれない計算は分数で答えなさい。

１． 右の図のような容器に水を7200cm3の水を 入れました。水面の高さは何cmになります か。 解説： 水面が最初の10cmになるまでは底面積は600cm2。 7200-600×10＝1200cm3が残る。 次の10cmからは底面積が300cm2なるので、 1200÷300＝4cm。 全体の水面は10+4＝14cmとなる。 解答：14cm

２． 右の図の容器に水を10cmの高さまで入れました。 (1)水の体積は何cm3ですか。 (2)台形ABCDを底面としたとき、水の高さは何cmに 　なりますか。 解説： (1) 右の図のような直角二等辺三角形を考えれば 上底は6cmということがわかる。水の体積は （6+16）×10÷2×4＝440cm3。 (2) (1)と同様に直角二等辺三角形を考えれば、ADは4cm。 台形ABCDの面積は（16+4）×12÷2＝120cm2。 水面の高さは440÷120＝3 2 3 cm。 解答：(1)440cm3　(2)3 2 3 cm

３． 右の図の容器の中に水を入れ、 いろいろな方向に向きを変えまし た。 アの高さは何cmですか。 解説： 水の体積は8×8×10＝640cm3。 水の入っている部分の面積は8×10＝80cm2。水の入っていない部分の 面積は8×8＝64cm2。 底面の五角形の面積は80+64＝144cm2。 アの高さは640÷144＝4 4 9 cm。 解答：4 4 9 cm

４． 右の図のような水がこぼれない容器の 中に水を入れ、傾けました。 水の体積は何cm3ですか。 解説： 傾けたときの底面は台形になる。水の体積は （15+20）×10÷2×8＝1400cm3。 解答：1400cm3

５． 右の図のような容器に水を入れ、 45°傾けました。 水の体積は何cm3ですか。 解説： 三角形ABCはAB＝AC＝10cmの直角二等辺三角形 になるので、BD＝10cm。 水の体積は（20+10）×10÷2×10＝1500cm3。 解答：1500cm3

６． 右の図のような容器に水を入れ、 傾けました。 残った水の体積は何cm3ですか。 解説： 傾ける前の水の体積は、8×6÷2×6＝144cm3。 こぼれた水の体積は三角すいなので、8×6÷2×3÷3＝24cm3。 残った水の体積は144-24＝120cm3。 解答：120cm3

７． 右の図の容器に水を入れ、容器をさかさまにして 傾けました。アの長さは何cmですか。 解説： 右の図のように水の体積を2倍にして、円柱を考えればよい。 水の体積は、 2×2×3.14×1+2×2×3.14×1.5÷3＝18.84cm3。 アの高さは18.84×2÷2×2×3.14＝3cm。 解答：3cm

８． 右の図の容器に水を入れ、底面積が80cm2の棒を入れた ところ、水面の高さが12cmになりました。 棒を入れる前の水面の高さは何cmですか。 解説： 棒を入れたときの水の体積は、（20×8-80）×12＝960cm3。 よって、棒を入れないときの水面の高さは960÷20×8＝6cm。 解答：6cm

９． 下の図1の容器に水を入れ、直方体の鉄のかたまりを入れます。 (1)図2のように鉄のかたまりを入れると、水面は何cmになりますか。 (2)図3のように鉄のかたまりを入れると、水面は何cmになりますか。 図1 図2 図3 解説： (1) 鉄のかたまりは完全に沈みきるので、みかけ上、水の体積は鉄のかたまりの 分だけ増える。水面の高さは 12×12×7+10×6×6÷12×12＝9.5cm。 (2) 水の体積は12×12×7＝1008cm3。 図3のように入れたときの底面積は12×12-6×6＝108cm2。 水面の高さは1008÷108＝9 1 3 cm。 解答：(1)9.5cm　(2)9 1 3 cm

10． 右の図のような容器に水を入れ、1辺が4cmの立方体の鉄の かたまりを積み重なるように入れていきます。 水面の高さと積み重なった立方体の高さが等しくなるのは、 立方体を何個入れたときですか。 解説： 立方体の鉄のかたまりを1個入れたとき、立方体は4cm、水面は 4×4×4÷10×8＝0.8cmずつ上がるので、1個につき、3.2cm ずつちぢまることになる。 水面の高さと積み重なった立方体の高さが等しくなるのは、 32÷3.2＝10個。 解答：10個

11． 右の図のような立方体の容器に水を 入れ、直方体の鉄の底面と側面から 沈めたところ、それぞれ右下のように なりました。 (1)立方体の容器の1辺は何cmですか。 (2)容器に入っている水の体積は何cm3 　ですか。 解説： (1) 右の図の水色の部分の体積 は等しい。 水色の体積は、 8×8×3.6＝230.4cm3。（左側） 底面積は、 230.4÷1.6＝144cm2。（右側） よって、1辺は12cm。 (2) 上の図の左側で考えると、水の体積は、 （144-8×8）×6.4＝512cm3。 解答：(1)12cm　(2)512cm3

12． 右の図のように、円柱の形をした容器の中に 円すいを頂点を下にして入れたところ、図1 のように水面の高さは8cmになりました。 (1)水の体積は何cm3ですか。 (2)図2のように、円すいの底面を下にして入れ 　て、水面の高さが10cmになるには、水を 　何cm3捨てればよいですか。 解説： (1) 右の図で、三角形ABCと三角形DBEは相似なので、 DE＝6cmとなる。 水の体積は12×12×3.14×8-6×6×3.14×8÷3 ＝3315.84cm3。 (2) 右の図で、三角形ABCと三角形DBEは相似なので、 DE＝4.5cmとなる。 水面の下にある円すいの体積は、 12×12×3.14×16÷3-4.5×4.5×3.14×6÷3 ＝2411.52-127.17＝2284.35cm3。 図2の水の体積は 12×12×3.14×10-2284.35＝2237.25cm3。 捨てる水の量は3315.84-2237.25＝1078.59cm3。 解答：(1)3315.84cm3　(2)1078.59cm3

13． 右の図のような左右の容器に、左側だけに水を 入れました。 ポンプで左側の水を右側の容器に移して同じ高さ にするとき、その水面の高さは何cmになりますか。 解説： 底面積の比が7：5なので、水面の高さが同じに なるとき、体積の比は7：5。 水の体積は7×14×12＝1176cm3なので、 左側の容器には 1176× 7 7+5 ＝686cm3の水が入る。 そのときの高さは686÷7×14＝7cm。 解答：7cm

14． 右の図のような左右の容器に、左側だけに水を入れました。 ポンプで左側の水の半分を右側の容器に移すと、右側の 容器の高さは8cmになります。 (1)左側の容器と右側の容器の底面積の比を求めなさい。 (2)両方の容器の高さを同じにするには、左側の水を何％ 　右側に移せばよいですか。 解説： (1) 左側の容器の水を全部右側に移すと、 高さは16cmになる。体積は1：1、高さは 3：2なので、底面積の比は2：3。 (2) 底面積の比が2：3、高さの比が1：1に なるのは体積の比が2：3になるときで ある。 左側の容器の底面積を2cm2とすると、 水の体積は48cm3。移す水の体積は 48× 3 2+3 ＝28.8cm3。 28.8÷48＝0.6→60％。 解答：(1)2：3　(2)60％

15． 右の図のようなA、B、Cの容器に同じ量の水を入れたところ、 水面の高さがそれぞれ4cm、6cm、8cmになりました。 (1)A、B、Cの容器の底面積の比を求めなさい。 (2)しきりを取ると、水面の高さは何cmになりますか。 解説： (1) 右のような 連比で考え ればよい。 (2) A、B、Cの容器の底面積をそれぞれ6cm2、4cm2、3cm2とすると、 水の体積は6×4+4×6+3×8＝72cm3。 全体の底面積は13cm2なので、水面の高さは 72÷13＝5 7 13 cm。 解答：(1)6：4：3　(2)5 7 13 cm

16． 右の図のような容器に毎分同じ量の水を 入れていきます。 グラフは4分までのようすです。 容器に水がいっぱいになるのは何分後 ですか。 解説： 4分後の入った水の体積は10×30÷2×20＝3000cm3。 1分で750cm3の水が入ることになる。 容器の体積は（20+30）×30÷2×20＝15000cm3。 容器に水がいっぱいになるのは15000÷750＝20分後。 解答：20分後

17． 右の図のような容器に毎分同じ量の水を 入れていきます。 グラフはそのときようすです。 ア、イの長さはそれぞれ何cmですか。 解説： 6分までは1cmずつ水面が上がり、6分後から12分後までは 6÷8＝0.75cmずつ上がることから、一番下の直方体の底面と 真ん中の部分の直方体の底面の底面積の比は0.75：1＝3：4。 よって、真ん中の部分の直方体の底面の横の長さは16cmになり、 ア＝4cmとなる。 同様に、14分後から18分後までは6÷4＝1.5cmずつ上がるので、 一番上の直方体の底面と一番下の直方体の底面の底面積の比は 1.5：1＝3：2。 よって、一番下の直方体の底面の横の長さは9cmとなり、 イ＝16-9＝5cmとなる。 解答：ア…4cm　イ…5cm

18． 右の図のような円柱の容器にしきりを入れ、 毎分314cm3の水を入れていきます。 グラフはそのときのようすを表したものです。 アとイの値はそれぞれいくつですか。 解説： 容器に水がいっぱいになるときの体積は、 10×10×3.14×60＝18840cm3。 毎分314cm3の水を入れていくので、いっぱいになるアの値は 18840÷314＝60分。 40分後の水の体積は314×40＝12560cm3。 そのときの高さは12560÷10×10×3.14＝40cm。 解答：ア…60　イ…40

19． 右の図のようなプラスチックの板を水がもれないように 黄緑の部分を底面にして組み立てて容器を作ります。 この容器に毎分24cm3ずつ水を入れていきます。 (1)15分後の水面の高さは何cmですか。 (2)水が容器にいっぱいになるのは何分後ですか。 解説： (1) 組み立てた容器は右の図の通り。 15分後の容器に入った水の体積は 24×15＝360cm3。 下の直方体の体積は8×6×6＝288cm3。 残りの体積は360-288＝72cm3。 上の直方体の底面積は16×6＝96cm2。 72÷96＝0.75cm。 全体の水面の高さは6.75cm。 (2) 下の直方体の体積は8×6×6＝288cm3。 上の直方体の体積は16×6×4＝384cm3。 全部で288+364＝672cm3。 水が容器にいっぱいになるのは672÷24＝28分後。 解答：(1)6.75cm　(2)28分後

20． 右の図のような容器にしきり を入れ、一定の割合で水を 入れていきます。 グラフはそのときのようすを 表したものです。 (1)水は毎分何cm3ずつ入り 　ますか。 (2)アとイの底面積の比を 　求めなさい。 解説： (1) 50分後から100分後までの水の体積は60×40×20＝48000cm3。 1分間に48000÷50＝960cm3入る。 (2) 同じ高さの20cmになるのに、アは20分、イは30分かかることから、 体積の比は2：3、底面積の比も2：3となる。 解答：(1)960cm3　(2)2：3

21． 右の図のような容器にしきりを入れ、 一定の割合で水を入れていきます。 グラフはそのときのようすを表した ものです。 (1)水は毎分何cm3ずつ入りますか。 (2)水が容器にいっぱいになるのは 　何分後ですか。 解説： (1) 12分後の入った水の体積は6×5×4＝120cm3。 1分で10cm3ずつ入る。 (2) 水が容器にいっぱいになるのは10×5×12÷10＝60分後。 解答：(1)120cm3　(2)60分後

22． 右の図のような 容器にしきりを 2枚入れ、1分間 に8000cm3ずつ水 を入れていきます。 グラフはそのときの ようすを表したもの です。 ア、イ、ウ、エの値 を求めなさい。 解説： グラフから最初のしきりの高さは20cm。 そこまでの体積は60×40×20＝48000cm3。 水を1分間に8000cm3入れるので、 イ＝48000÷8000＝6分。 右の図でAの高さが20cmになるのは6分、 Bの高さが20cmになるのが2分なので、 底面積の比は3：1。Bの横の長さは20cm。 よって、ア＝60-20＝40cm。 15分後では、A、B、Cが右側のしきりの高さまで水が入るので、高さは 8000×15÷120×40＝25cm。よって、エ＝25cm。 ウの時間のとき、A、Bが25cmの高さにあるときなので、 ウ＝（60+20）×40×25÷8000＝10分。 解答：ア…40　イ…6　ウ…10　エ…25

23． 右の図のような容器Aの中に 容器Bを入れ、一定の割合で 水を入れていきます。 グラフはそのときのようすを 表したものです。 (1)水は毎分何cm3ずつ入り 　ますか。 (2)容器Bの容積は何cm3 　ですか。 解説： (1) 容器Bの上の部分の体積は40×30×30＝36000cm3。 これに水を入れるのに24分かかっているので、1分間で 36000÷24＝1500cm3入る。 (2) 12分後から16分後までの4分間に入った水の体積がBの容積となる。 1500×6＝6000cm3。 解答：(1)1500cm3　(2)6000cm3

24． 右の図のような 容器に直方体のを 鉄のかたまりと しきりを入れ、1分間 に200cm3ずつ水を 入れていきます。 グラフはそのときの ようすを表したもの です。 (1)直方体の鉄の 　かたまりの底面積 　は何cm2ですか。 (2)容器に水が 　いっぱいになるの 　は何分後ですか。 解説： (1) はじめから24分までに入った水の体積は、200×24＝4800cm3。 このときの水面の高さは15cmなので、底面積は4800÷15＝320cm2。 24分後から38分後までに入った水の体積は、200×14＝2800cm3。 水面の高さは8cm上がるので、底面積は2800÷8＝350cm2。 よって、鉄のかたまりの底面積は350-320＝30cm2。 (2) Bの底面積は200×（61-38）÷23＝200cm2。 この容器全体の底面積は350+200＝550cm2。 23cmの高さから27cmの高さまでこの底面積で水が入るので、 その時間は550×4÷200＝11分。 容器に水がいっぱいになるのは61+11＝72分後。 解答：(1)30cm2　(2)72分後

25． 右の図のような容器に水道管A、B を使って水を入れていきます。 始めは水道管Aだけを使って水を 入れ、15分後に水道管Bも使って 水を入れていきました。 グラフはそのときのようすを表した ものです。 はじめから水道管Bだけを使うと 何分で満水になりますか。 解説： 水道管Aだけの場合、1分で2cmずつ上がり、水道管A、Bを使うと、1分で 3cmずつ上がることから、水道管Bは1分で2cmずつ上がることになる。 水道管Bだけで満水になるのは、60÷2＝30分後。 解答：30分後

26． 右の図のような容積が4800cm3の 容器に水道管A、Bを使って水を 入れていきます。 始めは水道管A、Bを使って水を 入れ、2分後に水道管Bを閉じまし た。 グラフはそのときのようすを表した ものです。 (1)両方の水道管で水を入れてる 　とき、1分間で何cm3の水を入れ 　ていますか。 (2)水道管Aは1分で何cm3の水を 　入れていますか。 (3)はじめから満水になるまで、 　両方の水道管を使って入れると 　何分で満水になりますか。 解説： (1) 2分で1200cm3入っているので、1分で600cm3入る。 (2) 2分後から12分後までの10分で3600cm3入っているので、 水道管Aは1分で360cm3入る。 (3) 4800÷600＝8分。 解答：(1)600cm3　(2)3600cm3　(3)8分

27． 右の図のような容積が5000cm3の 容器に水道管A、Bを使って水を 入れていき、排水管Cからは水が 出ていきます。 はじめは水道管Aだけで水を入れ、 しばらくして水道管Bも使い、また しばらくしてから水道管Bを閉じて、 排水管Cから水を出しました。 グラフはそのときのようすを表した ものです。 (1)水道管Bは1分で何cm3の水を 　入れていますか。 (2)排水管Cは1分で何cm3の水を 　出していますか。 (3)水を入れ始めてから4分後に 　水道管Bを閉じないで排水管Cを 　開くと、しばらくして満水になりま 　す。満水になるのは水を入れ始め 　てから何分後ですか。 解説： (1) はじめから3分は水道管Aだけで入れているので、 1分で2400÷3＝800cm3。 3分から4分で水道管A、Bで1200cm3入っているので、水道管Bは 1分で1200-800＝400cm3入る。 (2) 4分後から8分後までの4分で800cm3の水が出ているので、 1分で800÷4＝200cm3の水が出ていることになる。 同時に水道管Aから800cm3の水が入っているので、排水管Cは 1分間に1000cm3の水を出していることになる。 (3) 1分間に水道管A、Bで1200cm3入り、排水管Cは1000cm3出ていく ので1分間に200cm3ずつ入ることになる。4分後から満水の5000cm3 には5000-3600＝1400cm3入ればよいので、1400÷200＝7分後。 水を入れ始めてから11分後。 解答：(1)400cm3　(2)1000cm3　(3)11分後

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