■ Hello School 算数 周期算・規則性　練習問題　解答と解説　■

インターネット上で受験算数の一通りの基本的解法をマスターしよう♪。

１． ある規則にしたがって数字を並べました。次の□にあてはまる数を求めなさい。 (1)1、4、9、16、25、□、49、… (2)3、4、6、□、13、… (3)2、4、8、14、□、32、… (4)1、2、4、8、□、32、… (5)3、5、8、13、21、…、□（12番目の数） (6)2、6、8、12、14、18、20、24、□、30、… (7)3、4、7、9、10、13、15、16、19、21、□、25、… 解説： (1) 1×1、2×2、3×3、…になっているので、6×6＝36。 (2) 1、2、3、…と増えていくので、6+3＝9。 (3) 2、4、6、…と増えていくので、14+8＝22。 (4) 前の数の2倍になっているので、8×2＝16。 (5) 3番目の8は2つ前の3と1つ前の5の和（3+5）、4番目の13は2つ前の5と 1つ前の8の和（5+8）になっているので、12番目の数は 3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610となる。 (6) 2番目の数は1番目の数に4を足したもの、3番目の数は2番目の数に2を 足したものの繰り返しになっている。 □＝24＋2＝26。 (7) 2番目の数は1番目の数に1を足したもの、3番目の数は2番目の数に3を 足したもの、4番目の数は3番目の数に2を足したものの繰り返しになって いる。□＝21＋1＝22。 解答：(1)36　(2)9　(3)22　(4)16　(5)610　(6)26　(7)22

２． ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 3、4、4、5、5、5、6、6、6、6、… (1)50番目の数はいくつですか。 (2)50番目までの数の和はいくつですか。 解説： (1) 1+2+…+8+9＝45で、 45番目の数は9に2を足した数なので11。 50番目の数は12。 (2) 3×1＋4×2＋…11×9＋12×5＝435。 解答：(1)12　(2)435

３． ある規則にしたがって数字を下のように区切って並べました。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│… (1)36は左から何番目の区切りに入る数ですか。 (2)1つの区切りの中にある数の和が183になるのは左から何番目の区切りですか。 解説： (1) 区切りの中の数字の数が1個、2個、3個の繰り返しになっている。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│…を │1│2、3│4、5、6│7│8、9│10、11、12│13│…と2減らして考えると 36は34と同じ場所に入る。 34÷6＝5あまり4なので、36は左から18番目の区切りになる。 (2) 和が183になるのは｜91、92｜になるか｜60、61、62｜になる場合である。 │3│4、5│6、7、8│9│10、11│12、13、14│15│…を │1│2、3│4、5、6│7│8、9│10、11、12│13│…と2減らして考えると 91は89、60は58と同じ場所に入る。 また│A│B、C│D、E、F│で、Fは6の倍数となり、│89、90│となることは ない。 58÷6＝9あまり4なので、58は左から30番目の区切りになる。 解答：(1)18番目　(2)30番目

４． ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 3、3、4、3、4、5、3、4、5、6、3、4、5、6、7、… (1)7回目の4が出てくるのは左から何番目の数ですか。 (2)左から100番目までに4は何回出てきますか。 解説： (1) 右のように数字を並びかえて考えると、 7回目の4が出てくるのは 2＋1＋2＋…＋6＋2＝25番目。 3、3 4 3、4 3、4、5 3、4、5、6、7 ……………… (2) 1＋2＋…＋12＋13＋9＝100となり4は 14回出てくる。 解答：(1)25番目　(2)14回

５． 偶数を右の図のように並べました。 (1)8段目までの数の和はいくつになりますか。 (2)64は何段目の左から何番目の数ですか。 (3)上からA段目、左からB番目の数を［A、B］で表すことにします。 例えば［4、3］＝18です。72はどう表せますか。 (4)［13、7］はいくつですか。 解説： (1) 7段目の右はしまでに数の個数は 1+2+…+7＝（1+7）×7÷2＝28個。 28番目の偶数の数は28×2＝56。 7段目までの和は（2+56）×28÷2＝812。 8段目の右はしまでに数の個数は 1+2+…+8＝（1+8）×8÷2＝36個。 36番目の偶数の数は36×2＝72。 8段目までの和は（2+72）×36÷2＝1332。 8段目の数の和は1332-784＝520。 (2) n番目の偶数はn×2で求まるので、64は32番目数になる。 1＋2＋…＋6＋7＋4＝32なので、64は8段目の左から4番目と なる。 (3) n番目の偶数はn×2で求まるので、72は36番目数になる。 1＋2＋…＋7＋8＝36なので、72は8段目の 左から8番目となり、［8、8］。 (4) 12段目までは1＋2＋…＋12＝78個の数があり、13段目の 7番目までには85個の数がある。 85番目の数は170。 解答：(1)520　(2)8段目の左から4番目　(3)［8、8］ (4)170

６． 両はしの数を1として、下の列は上の列の2つの数をたしていきます。 (1)和が2048になるのは何列目ですか。 (2)2048になる列までのすべての数の和はいくつですか。 解説： (1) 右の表のように 2列目以降は前 の列の和の2倍 になっていく。 列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 和 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 (2) n列までの和はn×2-2になっている。 2048になる列までの和は2048×2-2＝4094。 解答：(1)11列目　(2)4094

７． ある規則にしたがって数字を下のように並べました。 1段目　1、11、21、31、41、51、61、71、… 2段目　2、3、12、13、22、23、32、33、… 3段目　4、5、6、14、15、16、24、25、… 4段目　7、8、9、10、17、18、19、20、… (1)98は何段目の左から何番目の数ですか。 (2)3段目の数で200より小さい数はいくつありますか。 解説： (1) 一の位が8があるのは4段目だけである。 7、8、9、10 17、18、19、20 27、28、29、30 ………………… と一の位が7、8、9、0と続いていくので、 98は10段目の左から2番目、全体では 左から38番目の数である。 (2) 4、5、6、 14、15、16、 24、25、26 …………… と一の位が4、5、6と続いていくので、 200よりも小さい数で一番近い数は196 である。 196までに20段あるので、3×20＝60個。 解答：(1)4段目の左から38番目　(2)60個

８． ある規則にしたがって数字を右のように並べました。 (1)60は何行何列目にありますか。 (2)11行14列目の数はいくつですか。 解説： (1) 1番上の1行目は1×1、2×2、…となっているので、1行目の8列目は 8×8＝64。下の表を作ると、60は5行目の8列目となる。 64 63 62 61 60 59 58 50 51 52 53 54 55 56 57 (2) 1行目の14列目の数は14×14＝196。 11行目は196から10引いた数になるので、186。 解答：(1)5行目の8列目　(2)186

９． 円柱に数字を側面に数字を下の数が上の数よりも10多くなるように並べて いきました。 (1)ある数の上下と左右の4つの数の和が3960になるとき、ある数はいくつ 　ですか。 (2)ある数の上下と左右の4つの数の和が7の倍数になるとき、そのような 　数は1から1000までいくつありますか。 解説： (1) ある数をnとすると上下と左右の関係は右の表の ようになる。 （n-10）＋（n-1）＋（n+1）＋（n+10）＝3960。 n×4＝3960。 n＝990 n-10 n-1 n n+1 n+10 (2) nが7の倍数であれば、4つの数の和も7の倍数になる。 1000÷7＝142あまり6。 ただし、最初の7は4つの数の和を作れないので、141個。 解答：(1)990　(2)141個

10． 長方形のテープを同じ方向に半分になるように何回も折っていきます。1回折って元に戻すと 折り目は1本になります。2回折って元に戻すと折り目は3本になります。8回折ったとき、 折り目は何本になりますか。 1回折る場合 2回折る場合 解説： 折る回数と折り目の数は以下のような関係が ある。 1回折る…2-1 2回折る…2×2-1 3回折る…2×2×2-1 ………………………… 8回折る…2×2×2×2×2×2×2×2-1＝255。 解答：255本

11． 1本1cmの棒を使って右の図のように正方形を並べていきます。 (1)正方形が12個になったとき、棒は何本になりますか。 (2)棒を94本使うと、正方形は何個できますか。 解説： (1) 最初の1個目の正方形は4本、2個目以降は3本で作れるので、正方形が 12個の場合、棒の本数は4＋3×11＝37本。 (2) 94本のうち、最初の1個目に4本使うと残りは90本。90÷3＝30。 全部で31個の正方形を作ることができる。 解答：(1)37本　(2)31個

12． 1本1cmの棒を使って右の図のように立方体を組み立てていきます。 (1)立方体が12個になったとき、棒は何本になりますか。 (2)棒を476本使うと、立方体は何個できますか。 解説： (1) 最初の1個目の立方体は12本、2個目以降は8本で作れるので、 立方体が12個の場合、棒の数は12＋8×11＝100本。 (2) 476本のうち、最初の1個目に12本使うと残りは464本。 464÷8＝58。全部で59個の立方体を作ることができる。 解答：(1)100本　(2)59個

13． 1本1cmの棒を使って右の図のように正三角形を並べていきます。 (1)1辺の長さが6cmの正三角形ができるとき、棒は全部で何本に 　なりますか。また、1辺が1cmの正三角形は何個できますか。 (2)棒を135本使ったとき、正三角形の1辺の長さは何cmになりますか。 解説： (1) 頂点が上に向いている三角形の辺の本数を考えれば よい。 1辺の長さが6cmの正三角形で頂点が上に向いている 三角形は1+2+…+6＝21。辺の数は21×3＝63本。 頂点が下を向いている三角形の数は 1+2+…+5＝15。 三角形の数は全部で21+15＝36個。 (2) 棒を135本使ったとき、頂点が上に向いている三角形は135÷3＝45個 できる。 1+2+…+9＝45になるので、正三角形の1辺の長さは9cmになる。 解答：(1)36個　(2)9cm

14． 1辺の長さが1cmの立方体を下の図のように組み立てていきます。 (1)4段目まで組み合わせたときの表面積を求めなさい。 (2)8段目まで組み合わせたときの表面積を求めなさい。 解説： (1) 1つの面で1+2+3+4＝10cm2となるので、10×6＝6cm2 (2) 1つの面で1+2+…+8＝36cm2となるので、 36×6＝216cm2 解答：(1)6cm2　(2)216cm2

15． 1辺が1cmの正方形を下のように並べていきます。 (1)12番目の図形の周りの長さは何cmですか。 (2)周りの長さが188cmになるのは何番目の図形ですか。 (3)12番目の正方形の数は11番目の正方形の数よりも何個多くなりますか。 解説： (1) 下の表のように、2番目以降は周りの長さは8ずつ増えていく。 n番目 1 2 3 4 5 … 周りの長さ 4 12 20 28 36 … 12番目の周りの長さは4+8×11＝92cm。 (2) 188cmのうち、最初の4cmを除くと184÷8＝23なので、 周りの長さが188cmになるのは24番目の図形となる。 (3) 下の表のように、正方形の数は4、8、12、…、つまり4×（n-1） ずつ増えていくことになる。 n番目 1 2 3 4 … 正方形の個数 1 5 13 25 … 12番目の正方形の数は11番目の正方形の数よりも4×（12-1） ＝44個多くなる。 解答：(1)92cm　(2)24番目　(3)44個

16． 下の図のように、長方形をどの2本の直線が必ず交わり、どの3本の直線も同じ点で交わらない ように直線で分けていきます。 (1)1本直線を増やすと、分けられる部分が12個増えるのは直線を何本目に引いたときですか。 (2)直線を25本引いたとき、長方形はいくつに分けられますか。 解説： (1) 下の表のように、直線をn本引くと、分けられる部分がn個増える。 本数 0 1 2 3 … 分けられる部分 1 2 4 7 … 1本直線を増やすと、分けられる部分が12個増えるのは直線を12本目に引いた ときとなる。 (2) 直線を25本引くと、分けられる部分は1+2+…+25＝325個になる。 解答：(1)12本　(2)325個

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